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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 42

Calcule a integral ∫ s e n   2 x . cos ⁡ 4 x d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos primeiro o método da substituição.

Também vamos precisar da identidade trigonométrica:

( cos ⁡ a ) . ( s e n   b ) = 1 2 ( s e n a + b - s e n a - b )

Passo 2

Usamos a Id. Trigonométrica para poder transformar a expressão:

∫ s e n   2 x . cos ⁡ 4 x d x = ∫ 1 2 ( s e n 4 x + 2 x - s e n 4 x - 2 x ) d x

= ∫ 1 2 ( s e n 6 x - s e n 2 x ) d x

= 1 2 ∫   s e n 6 x d x + ∫ s e n 2 x d x

Vamos desenvolver primeiro ∫   s e n 6 x d x :

w =   6 x

d w = 6 x ' d x

d w = 6   d x

Multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que 6 6 é o melhor número, pois é o mesmo que multiplicar por 1:

∫ s e n   6 x d x = 6 6 ∫ s e n   6 x d x

= 1 6 ∫ s e n   6 x . 6 d x

= 1 6 ∫ s e n   w d w

= 1 6 - cos ⁡ w

Substituímos   w =   6 x

= 1 6 - cos ⁡ 6 x

Depois desenvolvemos ∫   s e n 2 x d x :

z =   2 x

d z = 2 x ' d x

d z = 2   d x

∫ s e n   2 x d x = 2 2 ∫ s e n   2 x d x

= 1 2 ∫ s e n   2 x . 2 d x

= 1 2 ∫ s e n   z d z

= 1 2 - cos ⁡ z

Substituímos   z =   2 x

= 1 2 - cos ⁡ 2 x

Passo 3

Agora podemos substituir os resultados:

= 1 2 ∫   s e n 6 x d x + ∫ s e n 2 x d x

= 1 2 1 6 - cos ⁡ 6 x + 1 2 - cos ⁡ 2 x

= 1 12 - cos ⁡ 6 x + 1 4 - cos ⁡ 2 x

= - cos ⁡ 6 x 12 - cos ⁡ 2 x 4 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ s e n   2 x . cos ⁡ 4 x d x       = - cos ⁡ 6 x 12 - cos ⁡ 2 x 4 + c

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