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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 18

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular a integral do Exercício abaixo:

18-

∫ x   t g - 1 x d x

Passo 1

Observação: Algumas fórmulas não fora encontradas no livro conforme indica no enunciado, portante foi utilizado um outro método de resolução da integral.

Utilizando o método de substituição teremos:

u = t g - 1 x

d v = x

v = x 2 2

d u = 1 1 + x 2

Utilizando a forma: udu vdv, temos:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ t g - 1 x ⋅ x   d x = t g - 1 x ⋅ x 2 2 - ∫ x 2 2 ⋅ 1 1 + x 2 d x

Assim:

t g - 1 x ⋅ x 2 2 - ∫ x 2 2 ( 1 + x 2 ) d x = t g - 1 x ⋅ x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x

Passo 2

Somaremos e subtrairemos 1, observe:

t g - 1 x ⋅ x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 + 1 - 1 1 + x 2 d x = t g - 1 x ⋅ x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 + 1 1 + x 2 d x - ∫ 1 1 + x 2 d x

Resolvendo a primeira integral temos:

∫ x 2 + 1 1 + x 2 d x = ∫ 1   d x = x

Resolvendo a segunda integral:

- ∫ 1 1 + x 2 d x = - t g - 1 x

Juntando na fórmula:

t g - 1 x ⋅ x 2 2 - 1 2 x - t g - 1 x = t g - 1 x ⋅ x 2 2 - 1 2 x + 1 2 t g - 1 x

Passo 3

Vamos colocar agora os termos em evidência e inserindo a constante C:

1 2 x 2 t g - 1 - x + t g - 1 x + C

Resposta

1 2 x 2 t g - 1 - x + t g - 1 x + C

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