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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 80

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   log 5 ⁡ 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5

Passo 1

Bom, antes de começar a derivar precisamos lembrar da seguinte propriedade de logaritmos:

log a ⁡ b =   ln ⁡ b ln ⁡ a

Sabendo disso, vamos escrever a expressão do enunciado da seguinte maneira:

y =   ln ⁡ 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 ln ⁡ 5

Passo 2

Agora, derivamos em ambos os lados. Observe que o fator 1 ln ⁡ 5   vai para frente como uma constante. Ok?

y ' =   1 ln ⁡ 5   d d x ln ⁡ 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5

Vamos resolver isoladamente d d x ln ⁡ 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 E depois juntaremos tudo. Beleza?

Passo 3

Para resolver d d x ln ⁡ 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 . Vamos utilizar a regra da cadeia. Está lembrado?

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = ln ⁡ u u =   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5

d f d u =   1 u =   1 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5

Guarde esse valor, vamos precisar dele mais a frente.

Agora, para resolver d d x   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 vamos recorrer novamente para a regra da cadeia. Observe no próximo passo.

Passo 4

Queremos agora resolver d d x   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 .Precisaremos novamente da regra da cadeia Para isso, considere: f =   u e u = 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5  

Assim, temos d f d u = 1 2 u =   1 2 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 Guarde esse valor também

Agora, para resolver d d x   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5   vamos recorrer novamente para a regra da cadeia. Observe o próximo passo.

Passo 5

considere: f = u ln ⁡ 5   e u = 7 x 3 x + 2

Temos d f d u = ln ⁡ 5 .   u ln ⁡ 5 - 1 = ln ⁡ 5 .   u ln ⁡ 5 - 1 = ln ⁡ 5 .   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 - 1    

d u d f =   7   3 x + 2 - ( 7 x ) ( 3 ) ( 3 x + 2 ) 2 =   21 x + 14 - 21 x ( 3 x + 2 ) 2 = 14 ( 3 x + 2 ) 2

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo que foi encontrado nos passos 3, 4 e 5.

y ' =   1 ln ⁡ 5   d d x ln ⁡ 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5

y ' =   1 ln ⁡ 5   . 1 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5   .   1 2 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5   .   ln ⁡ 5 .   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 - 1 .   14 ( 3 x + 2 ) 2

Agora, vamos efetuar as simplificações, aos poucos, para você ir visualizando, ok?

Y ' =   1 2 .   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 .   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 - 1 14 ( 3 x + 2 ) 2

Y ' =   1 2 .   7 x 3 x + 2 - ln ⁡ 5 .   7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5 - 1 .   14 3 x + 2 2

Y ' = 1 2 .   7 x 3 x + 2 - 1 .   14 3 x + 2 2

Y ' =   1 2 .   3 x + 2 7 x .   14 3 x + 2 2

y ' =   1 x   ( 3 x + 2 )

Resposta

y ' =   1 x   ( 3 x + 2 )

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