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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 1

Calcule a integral usando integração por partes

int l n ( x + 1 ) d x

Passo 1

Nosso objetivo é simplificar ao máximo o trabalho na hora de fazer as contas. Dessa maneira, quando formos utilizar a integração por partes devemos pensar qual membro da integração é mais vantajoso derivar, pois lembre que derivar é mais simples do que integrar, isso significa que o membro mais complexo deve ser o que colocaremos como u .

Sendo assim, utilizando integração por partes suponha,

u = ln (x + 1) => d u = (1)/(x + 1) . ( 1 ) d x => d u = (1)/(x + 1) d x ,

d v = 1 => v = x

Sabemos que,

int u d v = u v - int v d u

Sendo assim,

=> int l n ( x + 1 ) d x

= ln (x + 1) . x - int x (1)/(x + 1) d x

= ln (x + 1) . x - int (x)/(x + 1) d x

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar o C , porém, faremos isso ao final. Além disso como não sabemos o intervalo em que x varia então precisamos garantir que o argumento o logaritmo seja positivo, sendo assim,

int l n ( x + 1 ) d x = ln | x + 1 | . x - int (x)/(x + 1) d x

Passo 2

Utilizando o método de substituição suponha

u = x + 1 => d u = ( 1 ) d x

Além disso,

u = x + 1 => x = u - 1

Sendo assim,

int (x)/(x + 1) d x = int (u - 1)/(u) d u = int (u)/(u) - (1)/(u) d u

= int (u)/(u) d u - int (1)/(u) d u = int 1 d u - int (1)/(u) d u = u - l n | u |

Como estamos não estamos com a integral definida, ou seja, desejamos apenas encontrar a primitiva então vamos voltar a variável x . Isto é

int (x)/(x + 1) d x = x + 1 - l n | x + 1 |

Portanto,

int l n ( x + 1 ) d x = x ln (x + 1) - [x + 1 - ln |x + 1|] + C

= x ln | x + 1 | - (x + 1) + ln |x + 1| + C

= ln | x + 1 | ( x + 1 ) - (x + 1) + C

Resposta

int l n ( x + 1 ) d x = ln | x + 1 | ( x + 1 ) - (x + 1) + C

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