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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 8a

Calcule a integral ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x usando

(a) integração por partes.

Passo 1

Precisamos montar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

E para isso a gente precisa separar essa função no integrando em um produto de duas funções. Uma “fácil” de derivar ( u ) e outra “fácil” de integrar ( d v ).

Podemos fazer assim oh:

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 x 2 ⋅ x x 2 + 1 d x

E chamar:

u = x 2 , d u d x = 2 x ∴ d u = 2 x   d x

d v = x x 2 + 1 d x

Passo 2

Para achar v precisamos integrar d v . E ela é uma função “fácil” de integrar, porque aparece uma função e algo muito parecido com a derivada dessa função no integrando.

Quando isso acontece, podemos tentar uma substituição simples:

v = ∫ x x 2 + 1 d x

t = x 2 + 1 , d t d x = 2 x ∴ d t 2 = x   d x

Substituindo na nossa integral e calculando:

v = 1 2 ∫ 1 t d t = 1 2 ∫ t - 1 2 d t = t = x 2 + 1

Passo 3

Agora a gente pode usar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo o que a gente tem:

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = x 2 x 2 + 1   ​ 0 1 - ∫ 0 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x   d x

Podemos usar uma substituição simples para calcular essa integral que apareceu:

t = x 2 + 1 , d t d x = 2 x ∴ d t = 2 x   d x

∫ x 2 + 1 ⋅ 2 x d x = ∫ t d t = 2 3 t 3 2 = 2 3 x 2 + 1 3 2

Nossas continhas ficam:

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = x 2 x 2 + 1   ​ 0 1 - 2 3 x 2 + 1 3 2   ​ 0 1 =

= 2 - 2 3 ⋅ 2 2 - 2 3 = 2 - 2 3

Resposta

2 - 2 3

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