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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 19

Calcule a integral.

int (2 x - 3)/(x^2 - 3 x - 10) d x

Passo 1

Vamos lá, aqui nosso primeiro impulso é usar frações parciais, mas se analisarmos o denominador bem, vemos que a derivada dele é exatamente a expressão do numerador, então vamos usar a regra da substituição aqui, bem mais simples!!

Passo 2

Usando a Regra da Substituição vamos ter:

u = x^2 - 3 x - 10

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x^(2 - 1) - 3 + 0 d x = 2 x - 3 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2 x - 3)/(x^2 - 3 x - 10) d x = int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2 x - 3)/(x^2 - 3 x - 10) d x = int (1)/(u) d u = ln |u| + C = ln |x^2 - 3 x - 10| + C

Resposta

int (2 x - 3)/(x^2 - 3 x - 10) d x = ln |x^2 - 3 x - 10| + C

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