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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 70

Calcule ∫ ln ⁡ ( 3 x - 2 ) d x usando integração por partes. Simplifique o cálculo de ∫ v d u introduzindo a constante de integração C 1 = - 2 3 quando passar de d v para v . Compare a solução obtida com a resposta do Exercício 13.

Passo 1

Vamos avaliar a integral, usando integração por partes do tipo :

I = ∫ v d u = u v - ∫ v d u

Então, vamos chamar :

u = ln ⁡ 3 x - 2

d u = 3 3 x - 2

d v = d x

v = ∫ d v = x + C

Se C 1 = - 2 3 :

v = x - 2 3

Aplicando na fórmula da integração por partes:

I = x - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 - ∫ x - 2 3 . 3 3 x - 2 d x    

Reorganizando alguns termos, temos:

I = x - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 - ∫ 3 x - 2 3 . 3 3 x - 2 d x    

Simplificando, temos:

I = x - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 - ∫ d x    

Resolvendo, temos:

I = x - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 - x + C

Multiplicando os termos:

I = x ln ⁡ 3 x - 2 - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 - x + C

Resposta

I = x ln ⁡ 3 x - 2 - 2 3 ln ⁡ 3 x - 2 - x + C

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