Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 18

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x 3 ln ⁡ 4 x   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = x 3 ;

d u = 3 x 2   d x ;

d v = s e n   4 x   d x ;

v = ∫ s e n   4 x   d x = - 1 4 cos ⁡ 4 x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = x 3 ⋅ - 1 4 cos ⁡ 4 x - ∫ - 1 4 cos ⁡ 4 x ⋅   3 x 2   d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 4 ∫ x 2 cos ⁡ 4 x d x

Passo 2

Devemos aplicar outra integração por partes:

u = x 2 ;

d u = 2 x   d x ;

d v = cos ⁡ 4 x d x ;

v = ∫ cos ⁡ 4 x   d x = 1 4 s e n   4 x .

∫ u d v = = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 4 ∫ x 2 cos ⁡ 4 x d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 4 x 2 ⋅ 1 4 s e n   4 x - ∫ 1 4 s e n   4 x ⋅ 2 x   d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x - 3 8 ∫ x ⋅ s e n   4 x   d x

Passo 3

Temos que aplicar mais uma integração por partes:

u = x ;

d u =   d x ;

d v = s e n   4 x   d x ;

v = ∫ s e n   4 x   d x = - 1 4 cos ⁡ 4 x .

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x - 3 8 ∫ x ⋅ s e n   4 x   d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x - 3 8 x ⋅ - 1 4 cos ⁡ 4 x - ∫ - 1 4 cos ⁡ 4 x d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x + 3 32 x ⋅ cos ⁡ 4 x - 3 128 s e n   4 x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

- x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x + 3 32 x ⋅ cos ⁡ 4 x - 3 128 s e n   4 x + c

Resposta

- x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x + 3 32 x ⋅ cos ⁡ 4 x - 3 128 s e n   4 x + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da região delimitada por y = l n ⁡ ( x ) , a reta x = e e o e i x ox .Encontre o volume do sólido gerado quando a região do item (a) gira em torno do e i x ox .
Use a fórmula de redução (10) para calcular: ( a ) ∫ cos 5 ⁡ ( x ) d x ( b ) ∫ 0 π / 2 c o s 6 x d x
Deduza a fórmula de redução (9).
Calcule a integral ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x UsandoIntegração por partes.A substituição u = x 2 + 1
O estudo das ondas de dentes de serra em Engenharia elétrica leva as integrais da forma: ∫ - π ω π ω t s e n k ω t d t Onde k é um inteiro e ω é uma constante não nula. Calcule a integral.