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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 18

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x 3 ln ⁡ 4 x   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = x 3 ;

d u = 3 x 2   d x ;

d v = s e n   4 x   d x ;

v = ∫ s e n   4 x   d x = - 1 4 cos ⁡ 4 x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = x 3 ⋅ - 1 4 cos ⁡ 4 x - ∫ - 1 4 cos ⁡ 4 x ⋅   3 x 2   d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 4 ∫ x 2 cos ⁡ 4 x d x

Passo 2

Devemos aplicar outra integração por partes:

u = x 2 ;

d u = 2 x   d x ;

d v = cos ⁡ 4 x d x ;

v = ∫ cos ⁡ 4 x   d x = 1 4 s e n   4 x .

∫ u d v = = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 4 ∫ x 2 cos ⁡ 4 x d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 4 x 2 ⋅ 1 4 s e n   4 x - ∫ 1 4 s e n   4 x ⋅ 2 x   d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x - 3 8 ∫ x ⋅ s e n   4 x   d x

Passo 3

Temos que aplicar mais uma integração por partes:

u = x ;

d u =   d x ;

d v = s e n   4 x   d x ;

v = ∫ s e n   4 x   d x = - 1 4 cos ⁡ 4 x .

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x - 3 8 ∫ x ⋅ s e n   4 x   d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x - 3 8 x ⋅ - 1 4 cos ⁡ 4 x - ∫ - 1 4 cos ⁡ 4 x d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x + 3 32 x ⋅ cos ⁡ 4 x - 3 128 s e n   4 x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

- x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x + 3 32 x ⋅ cos ⁡ 4 x - 3 128 s e n   4 x + c

Resposta

- x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x + 3 32 x ⋅ cos ⁡ 4 x - 3 128 s e n   4 x + c

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