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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 27

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ ln ⁡ x + 1 + x 2 d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) ;

d u = 1 + 1 2 1 + x 2 - 1 2 2 x x + 1 + x 2 d x = 1 + x 1 + x 2 - 1 2 x + 1 + x 2 d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = ln ⁡ x + 1 + x 2 ⋅ x - ∫ x ⋅ 1 + x 1 + x 2 - 1 2 x + 1 + x 2 d x

∫ u d v = ln ⁡ x + 1 + x 2 ⋅ x - ∫ x 1 + x 2 d x

Aplicaremos uma substituição u   d u para resolvermos o último termo:

u = 1 + x 2 ;

d u = 2 x   d x .

∫ x 1 + x 2 d x = ∫ 1 2 u d u = u = 1 + x 2

Voltando na integral original, temos:

∫ u d v = ln ⁡ x + 1 + x 2 ⋅ x - 1 + x 2

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

ln ⁡ x + 1 + x 2 ⋅ x - 1 + x 2 + c

Resposta

ln ⁡ x + 1 + x 2 ⋅ x - 1 + x 2 + c

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