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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 59

Uma partícula se movo ao longo do eixo x com uma função velocidade v t = t 3 s e n ( t ) . Quão longe viaja a partícula do tempo t = 0 a t = π   ?

Passo 1

Podemos resolver esse problema de deslocamento integrando a função velocidade, onde:’

∫ 0 π v t d t = ∫ 0 π t 3 s e n t d t

Integrando por partes temos que:

u = t 3

d u = 3 t 2

d v = s e n ( t )

v = - cos ⁡ t

Aplicando na fórmula de integração por partes:

∫ 0 π t 3 s e n t d t = - t 3 cos ⁡ t - ∫ 3 t 2 cos ⁡ t d t 0 π

Entretanto, precisamos integrar ∫ 3 t 2 cos ⁡ t d t por partes também, onde:

w = 3 t 2

d w = 6 t d t

d s = - c o s ⁡ ( t ) d t

s = s e n t

∫ 3 t 2 cos ⁡ t d t = 3 t 2 s e n t - 6 ∫ t s e n t d t

∫ 3 t 2 cos ⁡ t d t = 3 t 2 s e n t - 6 [ - t c o s t + s e n t ]

Passo 2

Retornando a nossa integral principal:

∫ 0 π t 3 s e n t d t = - t 3 cos ⁡ t - 3 [ t 2 s e n t - 2 - t c o s t + s e n t ] 0 π

∫ 0 π t 3 s e n t d t = [ - π 3 cos ⁡ π - 3 π 2 s e n π - 2 - π c o s π + s e n π ] - [ - 0 3 cos ⁡ 0 - 0 [ 0 2 s e n 0 - 2 - 0 c o s 0 + s e n 0 ] ]

∫ 0 π t 3 s e n t d t = π 3 - 6 π

Resposta

∫ 0 π t 3 s e n t d t = π 3 - 6 π

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