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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 30

Calcule a integral usando o método de frações parciais.

∫ x 2 + x - 16 x - 1 x - 3 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar frações parciais. Bora para a nossa integral:

∫ x 2 + x - 16 x - 1 x - 3 2 d x

Passo 2

Belezinha, agora a gente precisa separar nossa função em duas:

x 2 + x - 16 x - 1 x - 3 2 = A x - 1 + B x - 3 + C x - 3 2

Agora temos que encontrar quanto vale A e B , onde sabemos que?

A x - 3 2 + B x - 1 x - 3 + C x - 1 = x 2 + x - 16

→ A x 2 - 6 x + 9 + B x 2 - 4 x + 3 + C x - 1 = x 2 + x - 16

→ x 2 A + B + x - 6 A - 4 B + C + 9 A + 3 B - C = x 2 + x - 16

Com isso podemos deduzir que:

A + B = 1 - 6 A - 4 B + C = 1 9 A + 3 B - C = - 16

Resolvendo temos:

A = - 7 2

B = 9 2

C = - 2

Passo 3

Por fim, a gente tem três integrais separadas e resolve elas:

∫ ( - 7 / 2 ) x - 1 d x + ∫ ( 9 / 2 ) x - 3 d x + ∫ ( - 2 ) x - 3 2 d x

= - 7 2 ∫ 1 x - 1 d x + 9 2 ∫ 1 x - 3 d x - 2 ∫ 1 x - 3 2 d x

= - 7 2 ln ⁡ x - 1 + C + 9 2 ln ⁡ x - 3 + C + 2 x - 3 + C

Simplificando ficamos com:

= - 7 2 ln ⁡ x - 1 + 9 2 ln ⁡ x - 3 + 2 x - 3 + C

Resposta

- 7 2 ln ⁡ x - 1 + 9 2 ln ⁡ x - 3 + 2 x - 3 + C

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