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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 31

Calcule a integral usando o método de frações parciais.

∫ x 2 x + 2 3 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar frações parciais. Bora para a nossa integral:

∫ x 2 x + 2 3 d x

Passo 2

Belezinha, agora a gente precisa separar nossa função em três:

x 2 x + 2 3 = A x + 2 + B x + 2 2 + C x + 2 3

Agora temos que encontrar quanto vale A e B , onde sabemos que?

A x + 2 2 + B x + 2 + C = x 2

→ A x 2 + 4 x + 4 + B x + 2 + C = x 2

→ x 2 A + x 4 A + B + A + B + C = x 2

Com isso podemos deduzir que:

A = 1 4 A + B = 0 A + B + C = 0

Resolvendo temos:

A = 1

B = - 4

C = 4

Passo 3

Por fim, a gente tem três integrais separadas e resolve elas:

∫ 1 x + 2 d x + ∫ - 4 x + 2 2 d x + ∫ 4 x + 2 3 d x

= ∫ 1 x + 2 d x - 4 ∫ 1 x + 2 2 d x + 4 ∫ 1 x + 2 3 d x

= l n ⁡ | x + 2 | + C + 4 x + 2 + C - 2 x + 2 2 + C

Simplificando ficamos com:

= ln ⁡ x + 2 + 4 x + 2 + 2 x + 2 2 + C

Resposta

ln ⁡ x + 2 + 4 x + 2 + 2 x + 2 2 + C

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