Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 54

Calcule a integral

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x

Usando

  1. Integração por partes.
  2. A substituição u = x 2 + 1

Passo 1

  1. Nessa primeira parte do exercício vamos utilizar integração por partes:

    2. Uma função que pode ser integrada por partes, pode ser lida da seguinte maneira:

    ∫ u d v = u v - ∫ v d u

    O que são esses termos? Precisamos encontra-los para poder calcular.

    Chamaremos:

    u = x 2

    d u = 2 x d x

    d u 2 = x d x

    d v = x x 2 + 1 d x

    v = x 2 + 1

    Substituindo na fórmula de integração por partes, temos:

    ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 x 2 x x 2 + 1 d x

    ∫ 0 1 x 2 x x 2 + 1 d x = x 2 x 2 + 1 - ∫ 2 x x 2 + 1 d x

    Vamos integrar o termo ∫ 2 x x 2 + 1 d x :

    ∫ 2 x x 2 + 1 d x

    Chamando x 2 + 1 = w e d w = 2 x d x , substituindo, temos:

    ∫ 2 x x 2 + 1 d x = 2 3 w 3 / 2

    Substituindo w temos:

    ∫ 2 x x 2 + 1 d x = 2 3 ( x 2 + 1 ) 3 / 2

    Retornando para a integral:

    ∫ 0 1 x 2 x x 2 + 1 d x = x 2 x 2 + 1 - 2 3 ( x 2 + 1 ) 3 / 2 0 1

    ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = 1 1 + 1 - 2 3 1 + 1 3 2   - 0 0 + 1 - 2 3 0 + 1 3 2

    Calculando, temos:

    ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = 2 - 4 2 3 - 0 - 2 3 = 2 - 2 3

    Passo 2

  2. Agora, calcularemos utilizando a substituição do tipo u d u , quando u = x 2 + 1 .

Reorganizamos, temos que:

u = x 2 + 1

d u = x x 2 + 1

u 2 - 1 = x 2

Se:

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 x 2 x x 2 + 1 d x

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = ∫ u 2 - 1   d u = u 3 3 - u

Substituindo u :

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = ( x 2 + 1 ) 3 3 - x 2 + 1 0 1

Calculando nos limites de integração :

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = ( 1 2 + 1 ) 3 3 - 1 2 + 1 - 0 2 + 1 3 3 - 0 2 + 1

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = 2 2 3 - 2 - 1 3 - 1 = 2 - 2 3  

Resposta

∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = 2 - 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integra ∫ e x x d x Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integral∫ x 2 . s e nx 3 d x Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integra ∫ x 3 . x 2 + 1d x Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integral∫ 1 x . ( ln ⁡ x ) 2 d x . Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integral∫ x 3 . e x 4 d x . Algumas integrais não requerem integração por partes.