Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ 2 + y 2 2   d y

Passo 1

Respeitável público! Esse exercício envolve as operações, teorias e fórmulas para as integrais. Então, temos que lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora vamos fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando é uma função elevada ao quadrado, podemos simplesmente desenvolver a multiplicação. Logo:

∫ 2 + y 2 2   d y = ∫ 2 + y 2 2 + y 2   d y = ∫ 4 + 4 y 2 + y 4   d y

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa nos casos a e b .

Passo 3

Com isso, aplicando o Teorema teremos:

∫ 4 + 4 y 2 + y 4   d y = 4 ∫ d y + 4 ∫ y 2 d y + ∫ y 4 d y

Tal que o resultado é:

∫ 2 + y 2 2   d y = 4 y + 4 3 y 3 + y 5 5 + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado, obtemos:

d d x 4 y + 4 3 y 3 + y 5 5 + C = 4 + 4 3   3 y 2 + 1 5 5 y 4 + 0 = 4 + 4 y 2 + y 4

Lembrando que o trinômio quadrado perfeito tem a forma:

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

E nosso resultado da derivada pode ser reescrito como:

4 + 4 y 2 + y 4 = 2 2 + 2 2 y 2 + y 2 2  

Concluímos que:

4 + 4 y 2 + y 4 = 2 + y 2 2

Que é o mesmo que o integrando inicial.

Resposta

∫ 2 + y 2 2   d y = 4 y + 4 3 y 3 + y 5 5 + C

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