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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 14

Calcule a integral

14. int sin 3 theta cos 2 theta d theta

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin A cos B = (sin (A + B) + sin ( A - B ))/(2)

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

int sin 3 theta cos 2 theta d theta = int (sin (3 theta + 2 theta) + sin ( 3 theta - 2 theta ))/(2) d theta

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

int (sin (5 theta) + sin ( theta ))/(2) d theta = (1)/(2) [int sin (5 theta) d theta + int sin ( theta ) d theta]

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

:. int sin (5 theta) d theta = - (cos 5 theta)/(5)

:. int sin ( theta ) d x = - cos ( theta )

Passo 3

Feito isso, substituímos os resultados lá dentro do colchete, e terminamos o cálculo (lembre da constante C ao final da integral!):

(1)/(2) [int sin (5 x) d x + int sin ( - x ) d x] = (1)/(2) [- (cos 5 theta)/(5) - cos ( theta )] + C =

= (1)/(2) [(- cos 5 theta - 5 cos ( theta ))/(5)] + C =

= (- cos 5 theta + 5 cos ( theta ))/(10) + C

Resposta

int sin 3 theta cos 2 theta d theta = (- cos 5 theta + 5 cos ( theta ))/(10) + C

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