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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 12

Calcule a integral indefinida.

int s e n theta s e n 2 theta d theta

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Para resolver essa integral vamos usar um pouco de trigonometria. Você deve lembrar daquele belo poema: “Minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá”... Vamos precisar de algumas daquelas fórmulas:

cos ( a + b ) = cos a cos b - s e n a s e n b

cos ( a - b ) = cos a cos b + s e n a s e n b

Somando as equações:

cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b

Assim,

cos a cos b = (cos (a + b) + cos (a - b))/(2)

Fazendo a = 2 theta e b = theta :

cos theta cos 2 theta = (cos 3 theta + cos theta)/(2)

Assim,

I = int s e n theta s e n 2 theta d theta = (1)/(2) int (cos 3 theta + cos theta) d theta

Passo 2

Efetuando a integração:

I = (1)/(2) ((1)/(3) s e n 3 theta + s e n theta) + C

Logo,

I = (1)/(6) s e n 3 theta + (1)/(2) s e n theta + C

Resposta

(1)/(6) s e n 3 theta + (1)/(2) s e n theta + C

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