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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 15

Calcule a integral

15. int sin x cos ((x)/(2)) d x

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin A cos B = (sin (A + B) + sin ( A - B ))/(2)

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

int sin x cos ((x)/(2)) d x = int (sin (x + (x)/(2)) + sin ( x - (x)/(2) ))/(2) d theta

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

int (sin ((3 x)/(2)) + sin ( (x)/(2) ))/(2) d x = (1)/(2) [int sin ((3 x)/(2)) d x + int sin ( (x)/(2) ) d x]

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

:. int sin ((3 x)/(2)) d x = - (2 cos ((3 x)/(2)))/(3)

:. int sin ( (x)/(2) ) d x = - 2 cos ( (x)/(2) )

Passo 3

Feito isso, substituímos os resultados lá dentro do colchete, e terminamos o cálculo (lembre da constante C ao final da integral!):

(1)/(2) [int sin ((3 x)/(2)) d x + int sin ( (x)/(2) ) d x] = (1)/(2) [- (2 cos ((3 x)/(2)))/(3) - 2 cos ( (x)/(2) )] + C =

= (1)/(2) [(- 2 cos ((3 x)/(2)) - 6 cos ( (x)/(2) ))/(3)] + C =

(- 2 cos ((3 x)/(2)) - 6 cos ( (x)/(2) ))/(6) + C

Resposta

int sin x cos ((x)/(2)) d x = (- 2 cos ((3 x)/(2)) - 6 cos ( (x)/(2) ))/(6) + C

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