Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 23
Prove a fórmula (3) usando uma substituição por função hiperbólica.
Passo 1
A questão pede para demonstrarmos a fórmula (3) do teorema 9.8.4 desta seção do livro usando uma substituição por função hiperbólica. No texto desta seção são demonstradas as fórmulas (1) e (2) por esse método. A fórmula que queremos demonstrar é
Para usarmos uma substituição por função hiperbólica, temos que lembrar a relação fundamental:
Portanto, vamos fazer a substituição , de modo que
Além disso, temos que
Portanto,
Passo 2
Para fazer essa integral, lembre que a cossecante hiperbólica é o 1 sobre o seno hiperbólico, isto é
Assim,
Por outro lado, a primitiva de cossecante hiperbólica é
Assim,
Se prepare que a partir de agora vamos usar várias identidades das funções hiperbólicas!
Passo 3
Sabemos que
Assim,
Portanto,
Logo,
Agora precisamos de fórmulas para as funções inversas que foram apresentadas na seção 8.5:
Assim,
Mas como , segue
Aqui provamos a primeira igualdade. Mas note que a segunda já foi provada também:
Eu sei que tudo isso foi muito chato e pareceu inútil, mas a única forma de provar essa relação é fazendo tudo isso e não tem como fazer sem essas fórmulas prontas. Relaxa que você não precisa decorar nenhuma dessas fórmulas muito complicadas como a integral da cossecante hiperbólica ou a definição das inversas, o importante é saber que existem fórmulas desse tipo e onde procura-las quando você precisar!
Resposta
Demonstração.