Calcule a integral

20. int_(- pi)^(pi) cos^2 5 theta d theta

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se omexpoente for ímpar, usamos a relação sin^2 u + cos^2 u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se o expoente for par, usamos as relações sin^2 u = (1 - cos 2 u)/(2) e cos^2 u = (1 + cos 2 u)/(2) , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Temos expoente par, portanto usamos a 2ª relação. Teremos:

int_(- pi)^(pi) cos^2 5 theta d theta = int_(- pi)^(pi) ((1 + cos 10 theta)/(2)) d theta

Isolamos a constante pra fora da integral e separamos em duas integrais:

int_(- pi)^(pi) ((1 + cos 10 theta)/(2)) d theta = (1)/(2) [int_(- pi)^(pi) d theta + int_(- pi)^(pi) cos 10 theta d theta]

Passo 3

Resolvemos elas na ordem que vêm:

:. int_(- pi)^(pi) d theta = (theta|_(- pi)^( pi) = pi - (- pi) = 2 pi

:. int_(- pi)^(pi) cos 10 theta d theta = (sin 10 theta)/(10)_(- pi)^( pi) = (sin 10 (pi))/(10) - (sin 10 (- pi))/(10) = (0)/(10) - (0)/(10) = 0

Resolvidas as integrais, retornamos aos colchetes e substituímos pelos resultados delas:

(1)/(2) [int_(- pi)^(pi) d theta + int_(- pi)^(pi) cos 10 theta d theta] = (1)/(2) [2 pi + 0] = pi

Resposta

int_(- pi)^(pi) cos^2 5 theta d theta = pi

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