Calcule a integral

20. ∫ - π π cos 2 ⁡ 5 θ d θ

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se omexpoente for ímpar, usamos a relação sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se o expoente for par, usamos as relações sin 2 ⁡ u = 1 - cos ⁡ 2 u 2 e cos 2 ⁡ u = 1 + cos ⁡ 2 u 2 , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Temos expoente par, portanto usamos a 2ª relação. Teremos:

∫ - π π cos 2 ⁡ 5 θ d θ = ∫ - π π 1 + cos ⁡ 10 θ 2 d θ

Isolamos a constante pra fora da integral e separamos em duas integrais:

∫ - π π 1 + cos ⁡ 10 θ 2 d θ = 1 2 ∫ - π π d θ + ∫ - π π cos ⁡ 10 θ d θ

Passo 3

Resolvemos elas na ordem que vêm:

∴ ∫ - π π d θ = θ - π   π = π - - π = 2 π

∴ ∫ - π π cos ⁡ 10 θ d θ = sin ⁡ 10 θ 10 - π   π = sin ⁡ 10 π 10 - sin ⁡ 10 - π 10 = 0 10 - 0 10 = 0

Resolvidas as integrais, retornamos aos colchetes e substituímos pelos resultados delas:

1 2 ∫ - π π d θ + ∫ - π π cos ⁡ 10 θ d θ = 1 2 2 π + 0 = π

Resposta

∫ - π π cos 2 ⁡ 5 θ d θ = π

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