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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 80

Calcule a integral definida.

int_0^(2 pi) |s e n x - cos x| d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para essa integral vamos precisar de um truque meio diferente. Vou multiplicar e dividir o integrando por sqrt(2) // 2 :

|s e n x - cos x| = (2)/(sqrt(2)) * |s e n x * (sqrt(2))/(2) - (sqrt(2))/(2) * cos x|

Mas sabemos que s e n (pi)/(4) = cos (pi)/(4) = (sqrt(2))/(2) . Assim,

|s e n x - cos x| = sqrt(2) * |s e n x * cos (pi)/(4) - s e n (pi)/(4) * cos x|

Por outro lado, sabemos que s e n (a - b) = s e n a cos b - s e n b cos a . Assim,

|s e n x - cos x| = sqrt(2) * |s e n (x - (pi)/(4))|

Portanto, temos que

I = int_0^(2 pi) |s e n x - cos x| d x = sqrt(2) int_0^(2 pi) |s e n (x - (pi)/(4))| d x

Passo 2

Agora você precisa lembrar da definição do módulo: |x| = x se x >= 0 e |x| = - x se x < 0 . Desta forma, para 0 <= x <= (pi)/(4) , temos que s e n (x - (pi)/(4)) <= 0 . Assim, nesse intervalo temos que

|s e n (x - (pi)/(4))| = - s e n (x - (pi)/(4))

Por outro lado, para (pi)/(4) <= x <= (5 pi)/(4) , temos que s e n (x - (pi)/(4)) >= 0 . Portanto, nesse intervalo

|s e n (x - (pi)/(4))| = - s e n (x - (pi)/(4))

Por fim, para (5 pi)/(4) <= x <= 2 pi , temos que

|s e n (x - (pi)/(4))| = - s e n (x - (pi)/(4))

Desta forma, podemos quebrar a integral I em três:

I = sqrt(2) (- int_0^((pi)/(4)) s e n (x - (pi)/(4)) d x + int_((pi)/(4))^((5 pi)/(4)) s e n (x - (pi)/(4)) d x - int_((5 pi)/(4))^(2 pi) s e n (x - (pi)/(4)) d x)

Passo 3

Lembrando que a primitiva do seno é menos cosseno, vamos ter

I = sqrt(2) ((cos (x - (pi)/(4)))_0^((pi)/(4)) - (cos (x - (pi)/(4)))_((pi)/(4))^((5 pi)/(4)) + (cos (x - (pi)/(4)))_((5 pi)/(4))^(2 pi))

Assim,

I = sqrt(2) (cos 0 - cos (pi)/(4) - cos pi + cos 0 + cos (7 pi)/(4) - cos pi)

Portanto,

I = sqrt(2) (1 - (sqrt(2))/(2) + 1 + 1 + (sqrt(2))/(2) + 1)

Logo,

I = 4 sqrt(2)

Resposta

4 sqrt(2)

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