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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 16

Calcule a integral

16. int cos^(1 // 3) x sin x d x

Passo 1

Aqui podemos resolver pela substituição simples, onde vamos ter:

cos x = u

e

d u = - sin x d x

Passo 2

Aplicando na integral, vamos ter:

int cos^(1 // 3) x sin x d x = - int cos^((1)/(3)) x (- sin x) d x = - int u^(1 // 3) d u

Podemos resolver essa integral diretamente:

- int u^((1)/(3)) d u = - (u^(((1)/(3)) + 1))/(((1)/(3)) + 1) =

Passo 3

= (u^(((4)/(3))))/(((4)/(3))) = - (3 root(3)(u^4))/(4)

Retornando à variável em função de x , temos por fim:

- (3 root(3)(u^4))/(4) = - (3 root(3)(cos^4 x))/(4)

Resposta

int cos^(1 // 3) x sin x d x = - (3 root(3)(cos^4 x))/(4) + C

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