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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 83

Calcule a integral definida.

int_0^(pi) |cos^3 x| d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. A função cosseno é positiva no intervalo 0 < x < (pi)/(2) e negativa no intervalo (pi)/(2) < x < pi . Se a integral não tivesse o módulo, ela seria zero pois a integral da parte negativa é exatamente igual a integral da parte positiva com sinal trocado. Assim, para esse problema, basta integrar até pi // 2 e multiplicar o resultado por 2 :

I = int_0^(pi) |cos^3 x| d x = 2 int_0^((pi)/(2)) cos^3 x d x

No intervalo em que cos x > 0 nós podemos tirar o módulo sem problemas!

Passo 2

Para calcular essa integral você deve lembrar que

cos^3 x = cos^2 x * cos x = (1 - s e n^2 x) cos x

Assim,

I = 2 int_0^((pi)/(2)) ( 1 - s e n^2 x ) cos x d x

Fazendo a substituição t = s e n x , temos que d t = cos x d x . Portanto,

I = 2 int_0^1 (1 - t^2) d t

Passo 3

Agora podemos calcular a integral:

I = 2 (t - (t^3)/(3))_0^1 = 2 * (1 - (1)/(3))

Logo,

I = (4)/(3)

Resposta

(4)/(3)

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