Calcule a integral definida.

∫ 0 π cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. A função cosseno é positiva no intervalo 0 < x < π 2 e negativa no intervalo π 2 < x < π . Se a integral não tivesse o módulo, ela seria zero pois a integral da parte negativa é exatamente igual a integral da parte positiva com sinal trocado. Assim, para esse problema, basta integrar até π / 2 e multiplicar o resultado por 2 :

I = ∫ 0 π cos 3 ⁡ x   d x = 2 ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ x   d x

No intervalo em que cos ⁡ x > 0 nós podemos tirar o módulo sem problemas!

Passo 2

Para calcular essa integral você deve lembrar que

cos 3 ⁡ x = cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = 1 - s e n 2 x cos ⁡ x

Assim,

I = 2 ∫ 0 π 2 ( 1 - s e n 2 x ) cos ⁡ x   d x

Fazendo a substituição t = s e n   x , temos que d t = cos ⁡ x   d x . Portanto,

I = 2 ∫ 0 1 1 - t 2   d t

Passo 3

Agora podemos calcular a integral:

I = 2   t - t 3 3 0 1 = 2 ⋅ 1 - 1 3

Logo,

I = 4 3

Resposta

4 3

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