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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 30

Calcule a integral

30. int tan^5 x sec^4 x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

sec^2 u = 1 + tan^2 u

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

int tan^5 x sec^4 x d x = int tan^5 x sec^2 x sec^2 x d x

E agora aplicamos a propriedade:

int tan^5 x sec^2 x sec^2 x d x = int tan^5 x ( 1 + tan^2 x ) sec^2 x d x

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = tan x e d u = sec^2 x d x

Aplicamos na integral e vamos ter:

int tan^5 x (1 + tan^2 x) sec^2 x d x = int u^5 ( 1 + u^2 ) d u

Fazemos a distributiva e separamos a integral resultante em duas:

int u^5 (1 + u^2) d u = int u^5 d u + int u^7 d u

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

:. int u^5 d u = (u^6)/(6) + C

Retornando à variável original:

(u^6)/(6) + C = (tan^6 x)/(6) + C

Passo 4

:. int u^7 d u = (u^8)/(8) + C

Retornando à variável original:

(u^8)/(8) + C = (tan^8 x)/(8) + C

Somamos os resultados das duas integrais e teremos o resultado da integral original:

int tan^5 x sec^4 x d x = (tan^6 x)/(6) + (tan^8 x)/(8) + C

Resposta

int tan^5 x sec^4 x d x = (tan^6 x)/(6) + (tan^8 x)/(8) + C

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