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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 22

Calcule a integral

22. int_0^(2 pi) sin^2 k x d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se omexpoente for ímpar, usamos a relação sin^2 u + cos^2 u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se o expoente for par, usamos as relações sin^2 u = (1 - cos 2 u)/(2) e cos^2 u = (1 + cos 2 u)/(2) , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Sendo o expoente par, usamos a 2ª relação. Vamos ter:

int_0^(2 pi) sin^2 k x d x = int_0^(2 pi) (1 - cos 2 k x)/(2) d x

Isolamos a constante pra fora da integral e separamos em duas integrais:

int_0^(2 pi) (1 - cos 2 k x)/(2) d x = (1)/(2) [int_0^(2 pi) d x - int_0^(2 pi) cos 2 k x d x]

Passo 3

Resolvemos elas na ordem que vêm:

:. int_0^(2 pi) d x = (x|_0^(2 pi) = 2 pi - 0 = 2 pi

Passo 4

:. int_0^(2 pi) cos 2 k x d x = ((sin 2 k x)/(2 k)|_0^(2 pi) = (sin 4 k pi)/(2 k) - (sin 0)/(2 k) = (sin 4 k pi)/(2 k) - (0)/(2 k) = (sin 4 k pi)/(2 k)

Resolvidas as integrais, retornamos aos colchetes e substituímos pelos resultados delas:

(1)/(2) [int_0^(2 pi) d x - int_0^(2 pi) cos 2 k x d x] = (1)/(2) [2 pi - (sin 4 k pi)/(2 k)] =

= pi - (sin 4 k pi)/(4 k)

Resposta

int_0^(2 pi) sin^2 k x d x = pi - (sin 4 k pi)/(4 k)

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