Calcule a integral

22. ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ k x d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se omexpoente for ímpar, usamos a relação sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se o expoente for par, usamos as relações sin 2 ⁡ u = 1 - cos ⁡ 2 u 2 e cos 2 ⁡ u = 1 + cos ⁡ 2 u 2 , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Sendo o expoente par, usamos a 2ª relação. Vamos ter:

∫ 0 2 π sin 2 ⁡ k x d x = ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 k x 2 d x

Isolamos a constante pra fora da integral e separamos em duas integrais:

∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 k x 2 d x = 1 2 ∫ 0 2 π d x - ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 k x d x

Passo 3

Resolvemos elas na ordem que vêm:

∴ ∫ 0 2 π d x = x 0 2 π = 2 π - 0 = 2 π

Passo 4

∴ ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 k x d x = sin ⁡ 2 k x 2 k 0 2 π = sin ⁡ 4 k π 2 k - sin ⁡ 0 2 k = sin ⁡ 4 k π 2 k - 0 2 k = sin ⁡ 4 k π 2 k

Resolvidas as integrais, retornamos aos colchetes e substituímos pelos resultados delas:

1 2 ∫ 0 2 π d x - ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 k x d x = 1 2 2 π - sin ⁡ 4 k π 2 k =

= π - sin ⁡ 4 k π 4 k

Resposta

∫ 0 2 π sin 2 ⁡ k x d x = π - sin ⁡ 4 k π 4 k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados