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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 20

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

20 )   ∫ d x 1 + cos ⁡ x    

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos lembrar da identidade:

1 + cos ⁡ x = 2 . c o s ²   ( x 2 )

∫ d x 1 + cos ⁡ x = ∫ d x 2 . c o s ²   ( x 2 )

Removemos a constante da integral

=   1 2 ∫ d x c o s ²   ( x 2 )

Para terminar a resolução devemos usar outra identidade:

s e c   x 2 = 1 c o s   ( x 2 )

= 1 2 ∫ s e c ²   x 2 . d x

Usando a Integral por Substituição:

u = x 2

d u = d x 2  

2 . d u = d x

1 2 ∫ s e c ²   x 2 . d x = ∫ s e c ²   u . d u = t g   u

t g   u = t g   ( x 2 )

Resposta

∫ d x 1 + cos ⁡ x   = t g   ( x 2 ) + C

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