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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 34

Calcule a integral.

∫ 0 3 ( 2 sen ⁡ x - e x ) d x

Passo 1

Fala, galera! Bora resolver essa questão 😎?

O enunciado pede para gente calcular a integral

∫ 0 3 ( 2 sen ⁡ x - e x ) d x .

Mas como vamos fazer isso?

Pra facilitar nosso trabalho, vamos relembrar de algumas propriedades de integrais:

  • A integral da soma é a soma das integrais

    • ∫ a b f x + g x d x = ∫ a b f x d x + ∫ a b g x d x .

  • Se multiplicarmos o integrando por uma constante, o resultado é igual a multiplicar a integral pela mesma constante.

    • ∫ a b c f x d x = c ∫ a b f x d x .

  • Teorema Fundamental do Cálculo. Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então

    • ∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

    No nosso caso, temos que a = 0 , b = 3 e que f x =   2 sen ⁡ x - e x . Assim, para calcularmos a integral pedida, precisamos apenas encontrar uma primitiva F ( x ) de f e fazer as contas necessárias, beleza?

    Além de usarmos essas propriedades para calcular a integral procurada, vamos precisar também das primitivas das funções que aparecem.

    Relembrando:

  • A primitiva da função sen ⁡ x é - cos ⁡ x .
  • A primitiva da função e x é e x .

Temos tudo o que precisamos, bora começar?

Passo 2

A ideia aqui é reescrever a integral dada de uma forma mais conveniente, usando as propriedades mencionadas no passo anterior.

Começamos separando a integral em duas integrais.

∫ 0 3 ( 2 sen ⁡ x - e x ) d x = ∫ 0 3 2 sen ⁡ x d x - ∫ 0 3 e x d x .

A constante pode sair da integral, né? Então

∫ 0 3 2 sen ⁡ x - e x   d x = 2 ∫ 0 3 sen ⁡ x d x - ∫ 0 3 e x d x .

Passo 3

Por fim, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e as primitivas apresentadas no passo anterior.

Temos que

2 ∫ 0 3 sen ⁡ x d x =   2 - cos ⁡ x 0 3 =   2 - cos ⁡ 3 - ( - cos ⁡ 0 )

e

∫ 0 3 e x d x =   e x ​ 0 3 =   e 3 - e 0 ,

logo,

∫ 0 3 2 sen ⁡ x - e x d x = 2 - cos ⁡ 3 - ( - cos ⁡ 0 ) - e 3 - e 0 ,

Fazendo as contas, ficamos com

∫ 0 3 2 sen ⁡ x - e x   d x ≈ - 19,12 .

Resposta

∫ 0 3 2 sen ⁡ x - e x d x ≈ - 19,12

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