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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 35

Calcule a integral.

int_1^2 x^4 (ln x)^2 d x

Passo 1

Opa, nossa questão é super direta! Temos que calcular a seguinte integral:

int_1^2 x^4 (ln x)^2 d x

Pra isso vamos usar integração por partes! Relembrando a técnica, temos que:

int u d v = u v - int v d u

Antes de tentarmos usar partes para resolver a integral, vamos fazer a mudança de variável t = ln x . Assim,

d t = (1)/(x) d x => d x = x d t

Além disso, se t = ln x , então x = e^t . Desta forma, d x = e^t d t . Assim, a integral fica

int_1^2 x^4 (ln x)^2 d x = int_0^(ln 2) t^2 e^(5 t) d t

Passo 2

Agora usaremos partes, seguindo essa ordem de prioridade aqui:

Então escolhemos: u = t^2 e d v = e^(5 t) d t , de modo que d u = 2 t d t e v = (1)/(5) e^(5 t) . Assim,

int_0^(ln 2) t^2 e^(5 t) d t = [(1)/(5) t^2 e^(5 t)]_0^(ln 2) - (2)/(5) int_0^(ln 2) t e^(5 t)

Como e^(5 ln 2) = (e^(ln 2))^5 = 2^5 = 32 , segue que

int_0^(ln 2) t^2 e^(5 t) d t = (32)/(5) (ln 2)^2 - (2)/(5) int_0^(ln 2) t e^(5 t)

Passo 3

Vamos calcular a integral que sobrou usando partes (sim, isso é muito chato mesmo) fazendo u = t e d v = e^(5 t) d t . Assim, d u = d t e v = (1)/(5) e^(5 t) . Desta forma,

int_0^(ln 2) t e^(5 t) = [(1)/(5) t e^(5 t)]_0^(ln 2) - (1)/(5) int_0^(ln 2) e^(5 t) d t = (32)/(5) ln 2 - (1)/(25) [e^(5 t)]_0^(ln 2) = (32)/(5) ln 2 - (32)/(25) + (1)/(25)

Assim,

int_0^(ln 2) t e^(5 t) = (32)/(5) ln 2 - (31)/(25)

Passo 4

Por fim, voltando a integral original:

int_1^2 x^4 (ln x)^2 d x = int_0^(ln 2) t^2 e^(5 t) d t = (32)/(5) (ln 2)^2 - (2)/(5) ((32)/(5) ln 2 - (31)/(25))

Assim,

int_1^2 x^4 (ln x)^2 d x = (32)/(5) (ln 2)^2 - (64)/(25) ln 2 + (62)/(125)

Resposta

(32)/(5) (ln 2)^2 - (64)/(25) ln 2 + (62)/(125)

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