Calcule a integral

35.

Nossos próximos passos serão resolver essas três integrais. Resolvendo a primeira, na ordem que aparecem, vamos usar o método da integral por partes. Reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

Vamos denominar aqui:

Assim, temos:

Resolvemos a integral por partes a partir da seguinte forma:

Aplicamos:

Temos agora que resolver também a integral . Pra isso, usamos a mesma propriedade trigonométrica que usamos no começo do exercício:

Agora, substituímos por na sentença acima que obtivemos:

Rearrumando tudo isso, no fim das contas temos:

Assim, nos resta calcular, também pelo método da integral por partes, a integral .

Temos a integral:

Reescrevemos ela da seguinte maneira:

Fazemos o mesmo esquema, mas usando letras diferentes, e :

Temos:

Portanto, teremos:

Escrevemos a integral no molde que já sabemos:

Vamos ter:

Nisso, precisamos resolver a integral . Essa é uma integral que se resolve por substituição simples. Temos:

Reescrevemos a sentença:

A integral se resolve diretamente, e tem como resposta:

Agora rescrevemos de novo, com o resultado da integral:

Tendo o resultado pra , voltamos ao passo 2 e continuamos a resolver. Tínhamos parado em:

Já com o resultado pra , escrevemos:

Agora só fazer os ajustes necessários e temos como resposta:

Nesse passo, resolveríamos a segunda integral que obtivemos no final do passo 1, mas já calculamos ela no passo 3, e o resultado foi:

Agora então só falta calcular a última integral do passo 1: . Essa integral é tabelada, e tem como resposta:

Temos as respostas pra todas as integrais. Escrevemos a integral original e as respostas de cada integral resultante:

Agora, só substituir pelo que já calculamos:

Fazemos os ajustes e vamos ter: