Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 36
Calcule a integral
36.
Passo 1
Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:
Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:
Fazemos a distributiva, separando em duas integrais:
Passo 2
Nossos próximos passos serão resolver essas duas integrais. Resolvendo a primeira, na ordem que aparecem, vamos usar o método da integral por partes. Reescrevemos nossa integral da seguinte forma:
Vamos denominar aqui:
Assim, temos:
Resolvemos a integral por partes a partir da seguinte forma:
Aplicamos:
Temos agora que resolver também a integral . Pra isso, usamos a mesma propriedade trigonométrica que usamos no começo do exercício:
Agora, substituímos por na sentença acima que obtivemos:
Rearrumando tudo isso, no fim das contas temos:
Assim, nos resta calcular, também pelo método da integral por partes, a integral .
Passo 3
Temos a integral:
Reescrevemos ela da seguinte maneira:
Fazemos o mesmo esquema, mas usando letras diferentes, e :
Temos:
Portanto, teremos:
Escrevemos a integral no molde que já sabemos:
Vamos ter:
Nisso, precisamos resolver a integral . Essa é uma integral que se resolve por substituição simples. Temos:
Reescrevemos a sentença:
A integral se resolve diretamente, e tem como resposta:
Agora rescrevemos de novo, com o resultado da integral:
Passo 4
Tendo o resultado pra , voltamos ao passo 2 e continuamos a resolver. Tínhamos parado em:
Já com o resultado pra , escrevemos:
Agora só fazer os ajustes necessários e temos como resposta:
Passo 5
Nesse passo, resolveríamos a segunda integral que obtivemos no final do passo 1, mas já calculamos ela no passo 3, e o resultado foi:
Assim, tendo o resultado das duas integrais que precisávamos calcular, temos como resposta: