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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 20

Calcule a integral.

int cos theta cos^5 ( s e n theta ) d theta

Passo 1

O enunciado pede para acharmos uma primitiva para a função cos theta cos^5 ( s e n theta ) . Note que a questão está te chamando para fazer a substituição u = s e n theta pois a derivada do seno é cosseno. Assim, d u = cos theta d theta e a integral fica:

int cos theta cos^5 ( s e n theta ) d theta = int cos^5 u d u

Agora, vamos reescrever cos^5 u = cos^4 u cos u = (1 - s e n^2 u)^2 cos u . Como a derivada do seno é cosseno, vamos fazer agora x = s e n u , de modo que d x = cos u d u . Eu sei que parece estranho fazer a mesma substituição duas vezes, mas confia em mim que vai dar certo!

Assim, temos que

int cos theta cos^5 ( s e n theta ) d theta = int (1 - s e n^2 u)^2 cos u d u = int (1 - x^2)^2 d x

Passo 2

Abrindo a integral:

int cos theta cos^5 ( s e n theta ) d theta = int (1 - 2 x^2 + x^4) d x = x - (2 x^3)/(3) + (x^5)/(5) + C

Passo 3

Voltando para a variável u :

int cos theta cos^5 ( s e n theta ) d theta = s e n u - (2)/(3) s e n^3 u + (1)/(5) s e n^5 u + C

Por fim, trocando u por s e n theta :

int cos theta cos^5 ( s e n theta ) d theta = s e n (s e n theta) - (2)/(3) s e n^3 (s e n theta) + (1)/(5) s e n^5 (s e n theta) + C

Resposta

s e n (s e n theta) - (2)/(3) s e n^3 (s e n theta) + (1)/(5) s e n^5 (s e n theta) + C

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