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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 2

Calcule a integral.

int s e n^6 x cos^3 x d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Vamos ter que usar as relações trigonométricas, com destaque para a fundamental: s e n^2 x + cos^2 x = 1 .

Vamos reescrever a integral como

int s e n^6 x cos^3 x d x = int s e n^6 x cos^2 x cos x d x = int s e n^6 x (1 - s e n^2 x) cos x d x

Agora, lembre-se que a derivada do seno é cosseno e vamos fazer a substituição u = s e n x de modo que d u = cos x d x .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n x , a integral fica

int s e n^6 x cos^3 x d x = int u^6 (1 - u^2) d u = int (u^6 - u^8) d u

Calculando a integral:

int s e n^6 x cos^3 x d x = (u^7)/(7) - (u^9)/(9) + C

Passo 3

Voltando a variável original:

int s e n^6 x cos^3 x d x = (s e n^7 x)/(7) - (s e n^9 x)/(9) + C

Resposta

(s e n^7 x)/(7) - (s e n^9 x)/(9) + C

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