Calcule a integral

37. ∫ tan ⁡ t sec 3 ⁡ t d t

Passo 1

Se você observar bem, com uma pequena manipulação a gente consegue resolver essa integral por substituição simples!

∫ tan ⁡ t sec 3 ⁡ t d t = ∫ tan ⁡ t sec 2 ⁡ t sec ⁡ t d t

Aqui, podemos denominar:

u = sec ⁡ t

d u = sec ⁡ t tan ⁡ t d t

Passo 2

Aplicamos a substituição na nossa integral:

∫ sec 2 ⁡ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t = ∫ u 2 d u

Essa integral se resolve diretamente, vamos ter:

∫ u 2 d u = u 3 3 + C

Agora, só voltar à variável original. Vamos ter que:

∴ ∫ u 2 d u = ∫ tan ⁡ t sec 3 ⁡ t d t = sec 3 ⁡ t 3 + C

Resposta

∫ tan ⁡ t sec 3 ⁡ t d t = sec 3 ⁡ t 3 + C

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