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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 27

Avalie a integral.

int tan^3 x sec x d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para isso, vamos aplicar a regra da substituição. Entretanto, primeiro, vamos manipular a nossa integral. Fica assim:

int tan^2 x tan x sec x d x

Agora, devemos lembrar da seguinte identidade:

- 1 + sec^2 x = tan^2 x

Logo, substituindo:

int tan x (- 1 + sec^2 x) sec x d x

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

sec x = u

d x = (d u)/(tan x sec x)

Substituindo:

int tan x sec x (- 1 + u ²) ((d u)/(tan x sec x))

int u^2 - 1 d u

Pela regra da adição:

int u^2 d u - int d u

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u . Na primeira, temos:

int u^2 d u

(u^3)/(3) + C_1

Já para a segunda:

int d u

u + C_2

Substituindo u nas duas:

= (sec^3 x)/(3) - sec x + C

Resposta

(sec^3 x)/(3) - sec x + C

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