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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 13

Avalie a integral.

int sqrt(cos theta) sin^3 theta d theta

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos separar a função seno. Fica assim:

int sqrt(cos theta) sin^3 theta d theta = int sqrt(cos theta) sin^2 theta sin theta d theta

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

sin ² x = 1 - cos^2 x

Substituindo na nossa integral:

int sqrt(cos theta) sin theta ( 1 - cos ² theta ) d theta

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = cos theta

d theta = - (d u)/(sin theta)

Substituindo u e d u // d theta , temos:

int sqrt(u) sin theta ( 1 - u ² ) (- (d u)/(sin theta))

int - sqrt(u) + u^(5 // 2) d u

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

int - sqrt(u) + u^(5 // 2) d u

Pela regra da adição:

= - int sqrt(u) d u + int u^((5)/(2)) d u

(2)/(7) u^(7 // 2) - (2)/(3) u^(3 // 2 )

Substituindo u :

- (2)/(3) cos^((3)/(2)) theta + (2)/(7) cos^(7 // 2) theta + C

Resposta

- (2)/(3) cos^((3)/(2)) theta + (2)/(7) cos^(7 // 2) theta + C

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