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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5r

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (g (x) - g (p))/(x - p) onde g (x) = (1)/(x^2)

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir as funções g (x) = (1)/(x^2) e g (p) = (1)/(p^2) no limite:

underset(x -> p)(lim) (g (x) - g (p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((1)/(x^2) - (1)/(p^2))/(x - p)

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor p na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, tirando o mínimo:

underset(x -> p)(lim) ((1)/(x^2) - (1)/(p^2))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((p^2 - x^2)/(p^2 x^2))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((p^2 - x^2)/(p^2 x^2)) * ((1)/(x - p))

Vamos multiplicar e dividir a expressão por - 1 :

underset(x -> p)(lim) ((p^2 - x^2)/(p^2 x^2)) * ((1)/(x - p)) * ((- 1)/(- 1)) = underset(x -> p)(lim) ((- p^2 + x^2)/(- p^2 x^2)) * ((1)/(x - p)) = underset(x -> p)(lim) ((x^2 - p^2)/(- p^2 x^2)) * ((1)/(x - p))

Passo 3

Sabemos que:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

Podemos usar isso em x^2 - p^2 :

x^2 - p^2 = (x + p) (x - p)

Agora substituindo no limite:

underset(x -> p)(lim) ((x^2 - p^2)/(- p^2 x^2)) * ((1)/(x - p)) = underset(x -> p)(lim) (((x + p) (x - p))/(- p^2 x^2)) * ((1)/(x - p)) = underset(x -> p)(lim) ((x + p)/(- p^2 x^2)) * ((1)/(1)) = underset(x -> p)(lim) (x + p)/(- p^2 x^2)

Pronto, agora é simples, só substituir o valor p na expressão:

underset(x -> p)(lim) (x + p)/(- p^2 x^2) = (p + p)/(- p^2 p^2) = - (2 p)/(p^4) = - (2)/(p^3)

Resposta

underset(x -> p)(lim) ((1)/(x^2) - (1)/(p^2))/(x - p) = - (2)/(p^3)

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Ache o limite, se existir.underset(y - 5^-)(lim) (sqrt(25 - y^2))/(y - 5)
Ache o limite, se existir.underset(x - - 1)(lim) (2 x^2 - x - 3)/(3 x^2 + 8 x + 5)
Ache o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 3 x
Determine o limite infinito. lim x → 3 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 - 9 )
Determine o limite infinito. lim x → π - ⁡ cot ⁡ x