Ache o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 3 x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 3.

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 3 x ∙ 3 3

2 3 ∙ ⁡ lim x → 0 ⁡ 3 x sin ⁡ 3 x

Passo 2

Agora vamos substituir 3x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

3 x = u

x → 0 ⇒ u → 0  

1 3 ∙ ⁡ lim u → 0 ⁡ u sin ⁡ u

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 u e aplicar a propriedade da divisão de limites.

1 3 ∙ ⁡ lim u → 0 ⁡ u sin ⁡ u ∙ 1 u 1 u

1 3 ∙ ⁡ lim u → 0 ⁡ 1 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1 .

1 3 ∙ ⁡ lim u → 0 ⁡ 1 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u

1 3 ∙ 1 1

1 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 3 x =   1 3

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