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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1p

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)

Passo 1

Sabemos que a tangente é o seno sobre o cosseno, então:

(x - tg x)/(x + tg x) = (x - (sen x)/(cos x))/(x + (sen x)/(cos x)) = ((x cos x - sen x)/(cos x))/((x cos x + sen x)/(cos x)) = (x cos x - sen x)/(x cos x + sen x)

= (x cos x)/(x cos x + sen x) - (sen x)/(x cos x + sen x) = (1)/(1 + (sen x)/(x cos x)) - (1)/((x cos x)/(sen x) + 1)

Então:

underset(x -> 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x) = underset(x -> 0)(lim) (1)/(1 + (sen x)/(x cos x)) - (1)/((x cos x)/(sen x) + 1) = (1)/(1 + underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x cos x)) - (1)/(underset(x -> 0)(lim) (x cos x)/(sen x) + 1)

Passo 2

Para underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x cos x) temos:

underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x cos x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) xx underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) = 1 xx (1)/(1) = 1

E para underset(x -> 0)(lim) (x cos x)/(sen x) temos:

underset(x -> 0)(lim) (x cos x)/(sen x) = underset(x -> 0)(lim) ((sen x)/(x cos x))^(- 1) = (underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x cos x))^(- 1) = 1^(- 1) = 1

Passo 3

Logo:

underset(x -> 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x) = (1)/(1 + underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x cos x)) - (1)/(underset(x -> 0)(lim) (x cos x)/(sen x) + 1) = (1)/(1 + 1) - (1)/(1 + 1) = (1)/(2) - (1)/(2) = 0

underset(x -> 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x) = 0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x) = 0

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