Calcule. underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) Passo 1Como a secante é a razão do seno pelo cosseno, temos que: underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((1)/(cos x) - (1)/(cos p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p) cos x cos p) = underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p)) xx underset(x -> p)(lim) (1)/(cos x cos p) Temos que: underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p)) = - underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/((x - p)) tomando h = x - p , de modo que quando x tende a p o valor de h tende a zero: - underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/(x - p) = - underset(h -> 0)(lim) (cos (h + p) - cos p)/(h) Pelo cosseno da soma: - underset(h -> 0)(lim) (cos (h + p) - cos p)/(h) = - underset(h -> 0)(lim) (cos p cos h - sen h sen p - cos p)/(h) = - underset(h -> 0)(lim) (- sen h sen p + cos p (cos h - 1))/(h) Separando na soma: - underset(h -> 0)(lim) (- sen h sen p + cos p (cos h - 1))/(h) = - underset(h -> 0)(lim) (- sen h sen p)/(h) - underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) - underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) Passo 2Para underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) temos: underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) xx (sen p) = 1 xx (sen p) = sen p underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) = sen p Para underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) temos: underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (cos h - 1)/(h) xx (cos h + 1)/(cos h + 1) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (cos^2 h - 1)/(h (cos h + 1)) underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (sen^2 h)/(h (cos h + 1)) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (sen^2 h)/(h^2) xx (h)/(cos h + 1) underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = cos p xx 1 xx 0 = 0 underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = 0 Assim, - underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/(x - p) = underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) - underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = sen p - 0 = sen p - underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/(x - p) = sen p Passo 3ogo underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p)) xx underset(x -> p)(lim) (1)/(cos x cos p) = sen p xx (1)/(cos^2 p) = (sen p)/(cos p) xx (1)/(cos p) underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = tg p sec p Resposta underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = tg p sec p MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosDetermine o limite a seguirunderset(x - 0)(lim) (x c o s s e c 2 x)/(cos 5 x)Determine o limite a seguirunderset(x - 0)(lim) (t g 2 x)/(x)Determine o limite a seguirunderset(t - 0)(lim) (2 t)/(t g t)Determine o limite a seguirunderset(t - 0)(lim) (s e n k t)/(t) ( k c o n s t a n t e )Determine o limite a seguirunderset(h - 0^-)(lim) (h)/(s e n 3 h)Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre LimitesLista de exercícios de Limite Fundamental Trigonométrico Ver exercício 3.8 - 1pVer exercício 3.8 - 2