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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 3d

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p)

Passo 1

Como a secante é a razão do seno pelo cosseno, temos que:

underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((1)/(cos x) - (1)/(cos p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p) cos x cos p)

= underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p)) xx underset(x -> p)(lim) (1)/(cos x cos p)

Temos que:

underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p)) = - underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/((x - p))

tomando h = x - p , de modo que quando x tende a p o valor de h tende a zero:

- underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/(x - p) = - underset(h -> 0)(lim) (cos (h + p) - cos p)/(h)

Pelo cosseno da soma:

- underset(h -> 0)(lim) (cos (h + p) - cos p)/(h) = - underset(h -> 0)(lim) (cos p cos h - sen h sen p - cos p)/(h)

= - underset(h -> 0)(lim) (- sen h sen p + cos p (cos h - 1))/(h)

Separando na soma:

- underset(h -> 0)(lim) (- sen h sen p + cos p (cos h - 1))/(h) = - underset(h -> 0)(lim) (- sen h sen p)/(h) - underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) - underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h)

Passo 2

Para underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) temos:

underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) xx (sen p) = 1 xx (sen p) = sen p

underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) = sen p

Para underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) temos:

underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (cos h - 1)/(h) xx (cos h + 1)/(cos h + 1) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (cos^2 h - 1)/(h (cos h + 1))

underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (sen^2 h)/(h (cos h + 1)) = cos p xx underset(h -> 0)(lim) (sen^2 h)/(h^2) xx (h)/(cos h + 1)

underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = cos p xx 1 xx 0 = 0

underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = 0

Assim,

- underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/(x - p) = underset(h -> 0)(lim) (sen h sen p)/(h) - underset(h -> 0)(lim) (cos p (cos h - 1))/(h) = sen p - 0 = sen p

- underset(x -> p)(lim) (cos x - cos p)/(x - p) = sen p

Passo 3

ogo

underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (cos p - cos x)/((x - p)) xx underset(x -> p)(lim) (1)/(cos x cos p) = sen p xx (1)/(cos^2 p) = (sen p)/(cos p) xx (1)/(cos p)

underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = tg p sec p

Resposta

underset(x -> p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p) = tg p sec p

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