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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 3a

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (sen x - sen p)/(x - p)

Passo 1

Neste caso, podemos aplicar uma substituição tomando h = x - p , de modo que quando x tende a p o valor de h tende a zero:

underset(x -> p)(lim) (sen x - sen p)/(x - p) = underset(h -> 0)(lim) (sen (h + p) - sen p)/(h)

Pelo seno da soma:

underset(h -> 0)(lim) (sen (h + p) - sen p)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p + sen p cos h - sen p)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p + sen p (cos h - 1))/(h)

Passo 2

Separando na soma:

underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p + sen p (cos h - 1))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p)/(h) + underset(h -> 0)(lim) (sen p (cos h - 1))/(h)

Para underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p)/(h) temos:

underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) xx cos p = 1 xx cos p = cos p

underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p)/(h) = cos p

Passo 3

Para underset(h -> 0)(lim) (sen p (cos h - 1))/(h) temos:

underset(h -> 0)(lim) (sen p (cos h - 1))/(h) = sen p xx underset(h -> 0)(lim) (cos h - 1)/(h) xx (cos h + 1)/(cos h + 1) = sen p xx underset(h -> 0)(lim) (cos^2 h - 1)/(h (cos h + 1))

underset(h -> 0)(lim) (sen p (cos h - 1))/(h) = sen p xx underset(h -> 0)(lim) (sen^2 h)/(h (cos h + 1)) = sen p xx underset(h -> 0)(lim) (sen^2 h)/(h^2) xx (h)/(cos h + 1)

underset(h -> 0)(lim) (sen p (cos h - 1))/(h) = sen p xx 1 xx 0 = 0

underset(h -> 0)(lim) (sen p (cos h - 1))/(h) = 0

Logo:

underset(x -> p)(lim) (sen x - sen p)/(x - p) = underset(h -> 0)(lim) (sen h cos p)/(h) + underset(h -> 0)(lim) (sen p (cos h - 1))/(h) = cos p + 0 = cos p

underset(x -> p)(lim) (sen x - sen p)/(x - p) = cos p

Resposta

underset(x -> p)(lim) (sen x - sen p)/(x - p) = cos p

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