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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1o

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x)

Passo 1

Podemos desmembrar o limite na soma:

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = underset(x -> 0)(lim) (x)/(x^2 - sen x) + (sen x)/(x^2 - sen x)

Como (x)/(x^2 - sen x) = ((x^2 - sen x)/(x))^(- 1) e (sen x)/(x^2 - sen x) = ((x^2 - sen x)/(sen x))^(- 1) , temos:

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = underset(x -> 0)(lim) [((x^2 - sen x)/(x))^(- 1) + ((x^2 - sen x)/(sen x))^(- 1)]

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = underset(x -> 0)(lim) [(x - (sen x)/(x))^(- 1) + ((x^2)/(sen x) - 1)^(- 1)]

Passo 2

Assim, podemos desmembrar o limite para cada termo:

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = underset(x -> 0)(lim) (x - (sen x)/(x))^(- 1) + underset(x -> 0)(lim) ((x^2)/(sen x) - 1)^(- 1)

Passando o limite para dentro dos expoentes:

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = (underset(x -> 0)(lim) x - (sen x)/(x))^(- 1) + (underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sen x) - 1)^(- 1)

Pelo limite fundamental, underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1 , temos:

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = (0 - 1)^(- 1) + (underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sen x) - 1)^(- 1)

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = - 1 + (underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sen x) - 1)^(- 1)

Passo 3

Para underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sen x) temos que multiplicar por sen x no numerador e no denominador:

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sen x) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 sen x)/(sen^2 x) = underset(x -> 0)(lim) ((x)/(sen x))^2 xx underset(x -> 0)(lim) sen x = 1^2 xx 0 = 0

Logo:

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = - 1 + (underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sen x) - 1)^(- 1) = - 1 + (0 - 1)^(- 1) = - 1 - 1 = - 2

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = - 2

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x + sen x)/(x^2 - sen x) = - 2

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