Calcule.

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x

Passo 1

Podemos desmembrar o limite na soma:

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x x 2 - sen ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x

Como x x 2 - sen ⁡ x = x 2 - sen ⁡ x x - 1 e sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = x 2 - sen ⁡ x sen ⁡ x - 1 , temos:

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 2 - sen ⁡ x x - 1 + x 2 - sen ⁡ x sen ⁡ x - 1

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - 1 + x 2 sen ⁡ x - 1 - 1

Passo 2

Assim, podemos desmembrar o limite para cada termo:

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - 1 + lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x - 1 - 1

Passando o limite para dentro dos expoentes:

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - 1 + lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x - 1 - 1

Pelo limite fundamental, lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 , temos:

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = 0 - 1 - 1 + lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x - 1 - 1

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = - 1 + lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x - 1 - 1

Passo 3

Para lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x temos que multiplicar por sen ⁡ x no numerador e no denominador:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x sen 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 × lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x = 1 2 × 0 = 0

Logo:

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = - 1 + lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ x - 1 - 1 = - 1 + 0 - 1 - 1 = - 1 - 1 = - 2

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = - 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x = - 2

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