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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1q

Calcule.

underset(x -> 1)(lim) (sen pi x)/(x - 1)

Passo 1

Para resolver esse limite, basta aplicarmos uma mudança de variáveis:

Vamos chama h = x - 1 de modo que x = h + 1 e quando x tende a 1 , h tende a zero.

Então, temos:

underset(x -> 1)(lim) (sen pi x)/(x - 1) = underset(h -> 0)(lim) (sen [pi (h + 1)])/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen (pi h + pi))/(h)

Como temos o seno de uma soma:

underset(x -> 1)(lim) (sen pi x)/(x - 1) = underset(h -> 0)(lim) (sen pi h cos pi + sen pi cos pi h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (sen pi h (- 1) + (0) cos pi h)/(h)

underset(x -> 1)(lim) (sen pi x)/(x - 1) = underset(h -> 0)(lim) - (sen pi h)/(h)

Passo 2

Podemos aplicar outra substituição para calcular o limite:

Vamos chamar w = pi h , de modo que quando h tende a zero, w também tende a zero:

underset(x -> 1)(lim) (sen pi x)/(x - 1) = underset(h -> 0)(lim) - (sen pi h)/(h) = underset(w -> 0)(lim) - (sen w)/(w // pi) = - pi xx underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = - pi

underset(x -> 1)(lim) (sen pi x)/(x - 1) = - pi

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (sen pi x)/(x - 1) = - pi

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