Calcule.

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x x - 1

Passo 1

Para resolver esse limite, basta aplicarmos uma mudança de variáveis:

Vamos chama h = x - 1 de modo que x = h + 1 e quando x tende a 1 , h tende a zero.

Então, temos:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x x - 1 = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ π h + 1 h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ π h + π h

Como temos o seno de uma soma:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x x - 1 = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ π h cos ⁡ π + sen ⁡ π cos ⁡ π h h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ π h - 1 + 0 cos ⁡ π h h

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x x - 1 = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ π h h

Passo 2

Podemos aplicar outra substituição para calcular o limite:

Vamos chamar w = π h , de modo que quando h tende a zero, w também tende a zero:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x x - 1 = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ π h h = lim w → 0 ⁡ - sen ⁡ w w / π = - π × lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = - π

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x x - 1 = - π

Resposta

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ π x x - 1 = - π

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