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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 1e

Calcule

e ) underset(x -> + oo)(lim) ((x + 2)/(x + 1))^x

Passo 1

Primeiro vou trabalhar um pouco com a exressão dentro dos parênteses. Aqui vou usar um truque sujo: colocar x em evidência! Tá, nem é tão sujo assim! Saca só:

(x + 2)/(x + 1) = (x (1 + (2)/(x)))/(x (1 + (1)/(x))) = ((1 + (2)/(x)))/((1 + (1)/(x)))

Então nosso limite pode ser reescrito como:

underset(x -> + oo)(lim) ((x + 2)/(x + 1))^x = underset(x -> + oo)(lim) (((1 + (2)/(x)))/((1 + (1)/(x))))^x = underset(x -> + oo)(lim) ((1 + (2)/(x))^x)/((1 + (1)/(x))^x)

E como o limite da razão é a razão dos limites, podemos separar em uma divisão de dois limites:

underset(x -> + oo)(lim) ((1 + (2)/(x))^x)/((1 + (1)/(x))^x) = (underset(x -> + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^x)/(underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^x)

Passo 2

Agora dá uma olhadinha no exercício 1 a . Não é exatamente o limite que aparece no nosso numerador? É sim! Então resgatando o resultado de lá temos:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^x = e^2

E o limite do denominador? É exatamente o limite fundamental! E o resultado já estamos carecas de saber que é o número e .

Passo 3

Juntando esses resultados teremos:

underset(x -> + oo)(lim) ((x + 2)/(x + 1))^x = (underset(x -> + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^x)/(underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^x) = (e^2)/(e) = e

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

e

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Calculea ) underset(x - + oo)(lim) ( x^4 - 3 x + 2 )
Calculed ) underset(x - + oo)(lim) [ x - sqrt(3 x^3 + 2) ]
Calculeh ) underset(x - + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(2 x)
Calculed . underset(x - + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^(x + 1)