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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 1a

Calcule

a ) underset(x -> + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^x

Passo 1

Para resolver esse limite, precisamos lembrar do limite fundamental exponencial:

underset(u -> +- oo)(lim) (1 + (1)/(u))^u = e

Certo?

Passo 2

Agora vamos fazer uma mudança de variáveis, para ver como nosso exercício pode se encaixar no limite fundamental.

Dizendo que:

u = (x)/(2)

Então temos que x = 2 u . Ok?

Passo 3

Agora vamos substituir x para o nosso caso:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^x = underset(2 u -> + oo)(lim) (1 + (2)/(2 u))^(2 u)

Aqui temos duas coisas:

  • Sabendo que x = 2 u , e quando x -> + oo temos que: u -> + oo // 2 que também é + oo , então podemos substituir 2 u -> + oo por u -> + oo ;
  • Lembrando também das propriedades de funções exponenciais: A^(2 x) = (A^x)^2 = (A^2)^x

Com isso vou arrumar aquele limite ali em cima:

underset(2 u -> + oo)(lim) (1 + (2)/(2 u))^(2 u) = [underset(u -> + oo)(lim) (1 + (1)/(u))^u]^2

O que temos dentro dos colchetes é a definição do número e , assim:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^x = [e]^2 = e^2

Resposta

e^2

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Calculeb . underset(x - + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(x + 2)
Calculec ) underset(x - + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^x
Calculef ) underset(x - 0)(lim) (1 + 2 x)^x
Calculeg ) underset(x - 0)(lim) (1 + 2 x)^((1)/(x))