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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 1g

Calcule

g ) underset(x -> 0)(lim) (1 + 2 x)^((1)/(x))

Passo 1

Para resolver esse limite, precisamos lembrar do limite fundamental exponencial:

underset(u -> +- oo)(lim) (1 + (1)/(u))^u = underset(u -> 0)(lim) (1 + u)^(1 // u) = e

Certo?

Passo 2

Agora vamos fazer uma mudança de variáveis, para ver como nosso exercício pode se encaixar no limite fundamental.

Dizendo que:

u = 2 x

Então temos que x = u // 2 . Ok? Aqui vou usar a segunda forma de expressar, ok?

Passo 3

Agora vamos substituir x para o nosso caso:

underset(x -> 0)(lim) (1 + 2 x)^((1)/(x)) = underset(u // 2 -> 0)(lim) (1 + u)^(2 // u)

Aqui temos duas coisas:

  • Sabendo que x = u // 2 , e quando x -> 0 temos que: u -> 2.0 que também é 0 , então podemos substituir u // 2 -> 0 por u -> 0 ;
  • Lembrando também das propriedades de funções exponenciais: A^(2 x) = (A^x)^2 = (A^2)^x

Com isso vou arrumar aquele limite ali em cima:

underset(u // 2 -> 0)(lim) (1 + u)^(2 // u) = [underset(u -> 0)(lim) (1 + u)^(1 // u)]^2

O que temos dentro dos colchetes é a definição do número e , assim:

underset(x -> 0)(lim) (1 + 2 x)^((1)/(x)) = [e]^2 = e^2

Resposta

e^2

Passo 2

Passo 3

Resposta

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Ache o limiteunderset(x - + oo)(lim) (x + 4)/(3 x^2 - 5)
Ache o limiteunderset(x - - oo)(lim) (2 x + 7)/(4 - 5 x)
Ache o limiteunderset(y - + oo)(lim) (2 y^3 - 4)/(5 y + 3)