a) Calcule:

lim x → + ∞ ⁡ x + 3 x 3 + 2 x - 1

b) Mostre que existe r > 0 tal que

x > r ⇒ 0 < (x + 3) / (x^3 + 2x - 1) < 1/2

Passo 1

Para resolver a letra a ) precisamos dividir todos os termos (tanto do numerador, quanto do denominador) pelo x de maior expoente, que no nosso caso é x 3 .

Sendo assim, dividindo todos os termos por x 3 temos:

lim x → + ∞ ⁡ x x 3 + 3 x 3 x 3 x 3 + 2 x x 3 - 1 x 3

Agora simplificando temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 3 x 3 1 + 2 x 2 - 1 x 3

Agora vamos analisar o comportamento desse limite. Quando x → + ∞ , os denominadores de 1 x n ( n > 1 ), ficam cada vez maiores, e o resultado dessa divisão tende a zero.

Então temos para cada um dos termos:

  • lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0
  • lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3 = 0
  • lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 = 0
  • lim x → + ∞ ⁡ - 1 x 3 = 0

Daí temos que no numerador, todos os termos tendem a zero. E no denominador, apenas sobrevive o 1 :

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 3 x 3 1 + 2 x 2 - 1 x 3 = 0 1 = 0

Conlcuindo: o resultado desse limite é zero!

Beleza? Vamos pra próximo item?

Passo 2

Agora vamos analisar a parte da esquerda dessa desigualdade:

x + 3 x 3 + 2 x - 1 > 0

Do numerador temos:

x + 3 > 0 ∴ x > - 3

E do denominador:

x 3 + 2 x - 1 > 0

Com a ajuda de um programa de gerar gráficos temos:

Então essa função só é positiva para x > 1 2 . Então combinando os resutlados:

Mas procuramos por valores positivos, uma vez que x > r e que r > 0 . Sendo assim o intervalo de interesse é x > 1 2 .

Passo 3

Agora vamos olhar para o outro lado da desigualdade:

x + 3 x 3 + 2 x - 1 < 1 2

Com a ajuda de um programa de geração gráfica temos:

A razão x + 3 x 3 + 2 x - 1 vai ser menor do que 1 2 a partir do ponto onde eles se encontram em diante. O ponto onde eles se encontram é:

x + 3 x 3 + 2 x - 1 = 1 2

Multiplicando cruzado temos:

x 3 + 2 x - 1 = 2 x + 6

x 3 - 1 = 6 ∴ x 3 = 7

Então:

x = 7 3

E o intervalo de interesse aqui é x > 7 3 ~ 1,91 . Combinando isso com o outro intervalo (lembrando que x deve satisfazer os dois intervalos ao mesmo tempo) temos como resposta: x > 7 3 . Então existe sim r > 0 tal que

x > r ⇒ 0 < x + 3 x 3 + 2 x - 1 < 1 2

E nesse caso r = 7 3 . Beleza?

Resposta

a )   0

b )   x > 7 3 ⇒ 0 < x + 3 x 3 + 2 x - 1 < 1 2

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