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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 5

Sejam f e g definidas em [ a , ∞ [ e tais que f x ≥ 0 e g x > 0 para todo x ≥ a . Suponha que lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = L , L > 0 . Prove que existe r > 0 , r > a , tal que para todo x > r

L 2 g x < f x < 3 L 2 g ( x )

Conclua daí que lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = 0 , então que lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 0 .

Passo 1

Pela definição de limite, e tomando o valor de ϵ = L / 2 existe r > 0 , com r > a , tal que:

x > r → L - L 2 < f x g x < L + L 2

Calculando a parte L - L 2 e L + L 2 , ficamos com

x > r → L 2 < f x g x < 3 L 2

Passa g x para cada da inequação ficamos com,

x > r → L 2 g x < f x < 3 L 2 g ( x )

Repara que chegamos na hipótese do enunciado. Agora vamos aplicar o Teorema do Confronto para achar os limites de f x .

Passo 2

Pelo Teorema do Confronto teremos,

L 2 lim x → + ∞ ⁡ g x < lim x → + ∞ ⁡ f x < 3 L 2 lim x → + ∞ ⁡ g x

O enunciado forneceu,

lim x → + ∞ ⁡ g x = 0

Logo,

0 < lim x → + ∞ ⁡ f x < 0

Então o limite da f ( x ) quando x → + ∞ também é zero! Assim:

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

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