1. Calcule lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 3 x - 1 2 x 3 - 6 x + 1
  2. Mostre que existe r > 0 tal que

x > r ⇒ 1/4 < (x^3 + 3x - 1) / (2x^3 - 6x + 1) < 3/4

Passo 1

  1. Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo 1 x n que tendem a zero para x → + ∞ , pois assim fica simples de resolver o limite.
  2. Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

    lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 3 x - 1 2 x 3 - 6 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 + 3 x 2 - 1 x 3 x 3 2 - 6 x 2 + 1 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x 2 - 1 x 3 2 - 6 x 2 + 1 x 3

    Temos que podemos usar a propriedade da divisão, da soma e da subtração nesse limite:

    lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x 2 - 1 x 3 2 - 6 x 2 + 1 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x 2 - 1 x 3 lim x → + ∞ ⁡ 2 - 6 x 2 + 1 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 lim x → + ∞ ⁡ 2 - lim x → + ∞ ⁡ 6 x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3

    Vamos resolver eles separadamente.

    Passo 2

    Calculando os do numerador:

    No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

    lim x → p ⁡ k = k

    lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

    Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com 1 x 2 que também tende a zero para x → + ∞ :

    lim x → p ⁡ k f x = k lim x → p ⁡ f x

    lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 = 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 3 ∙ 0 = 0

    No terceiro temos 1 x 3 que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x 3 vai está:

    lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 = 0

    Passo 3

    Agora no denominador:

    No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

    lim x → p ⁡ k = k

    lim x → + ∞ ⁡ 2 = 2

    Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com 1 x 2 que também tende a zero para x → + ∞ :

    lim x → p ⁡ k f x = k lim x → p ⁡ f x

    lim x → + ∞ ⁡ 6 x 2 = 6 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 6 ∙ 0 = 0

    Por último, no terceiro temos 1 x 3 que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x 3 vai está:

    lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 = 0

    Passo 4

    Por último é só juntar os resultados e pronto:

    lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 3 x - 1 2 x 3 - 6 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 lim x → + ∞ ⁡ 2 - lim x → + ∞ ⁡ 6 x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 = 1 + 0 - 0 2 - 0 + 0 = 1 2

    Passo 5

  3. Vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

se a - δ < x < a + δ então L - ε < f x < L + ε

Para provar vamos aplicar a definição de limite com ε = 1 4 existe r > 0 , temos então que:

L - ε = 1 4 → L - 1 4 = 1 4 → L = 1 4 + 1 4 → L = 2 4 = 1 2

L + ε = 3 4 → L + 1 4 = 3 4 → L = 3 4 - 1 4 → L = 2 4 = 1 2

Assim:

x > r ⟹ 1 2 - 1 4 < x 3 + 3 x - 1 2 x 3 - 6 x + 1 < 1 2 + 1 4

Resposta

  1. lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 3 x - 1 2 x 3 - 6 x + 1 = 1 2
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