1. Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo que tendem a zero para , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

Temos que podemos usar a propriedade da divisão, da soma e da subtração nesse limite:

Vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

Calculando os do numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com que também tende a zero para :

No terceiro temos que tende a zero para , pois quanto maior o valor de , mais próximo de zero vai está:

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com que também tende a zero para :

Por último, no terceiro temos que tende a zero para , pois quanto maior o valor de , mais próximo de zero vai está:

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

Passo 5

2. Vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

se para todo número houver um número tal que

se então

Para provar vamos aplicar a definição de limite com existe , temos então que:

Assim: