Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1m
Calcule.
Passo 1
Para resolver essa questão vamos utilizar o Limite Fundamental Trigonométrico! Para quem lembra temos que,
Repara que o argumento do seno é igual ao nosso denominador. Mas na função dada eles são diferentes:
O nosso argumento é e o denominador é . Além disso, o nosso limite tem que tender a zero. Então agora vamos ter que manipular um pouco a nossa função para aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico.
Passo 2
Podemos multiplicar em cima e embaixo por , para obter:
Separando no produto, temos:
Vamos resolver cada limite em separado!
Passo 3
Para
podemos aplicar uma mudança de variáveis. Fazendo,
Vamos ter , quando . Substituindo:
Agora vamos para o próximo limite!
Passo 4
Para , basta substituir :
Agora vamos juntar tudo!
Passo 5
Ficamos com,
Logo,
Resposta
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lim x → 0 2 x sin 3 x
lim x → 0 x 2 + 3 x sin x
lim x → 0 sin x 3 x 2 + 2 x
lim x → 0 1 - cos 2 x 2 x 2
lim x → 0 1 -cos 2 x sin 3 x