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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1m

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)

Passo 1

Para resolver essa questão vamos utilizar o Limite Fundamental Trigonométrico! Para quem lembra temos que,

underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1

Repara que o argumento do seno é igual ao nosso denominador. Mas na função dada eles são diferentes:

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)

O nosso argumento é (x^2 - p^2) e o denominador é (x - p) . Além disso, o nosso limite tem que tender a zero. Então agora vamos ter que manipular um pouco a nossa função para aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico.

Passo 2

Podemos multiplicar em cima e embaixo por x + p , para obter:

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2) (x + p))/((x - p) (x + p)) = underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2) (x + p))/(x^2 - p^2)

Separando no produto, temos:

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2) (x + p))/(x^2 - p^2) = underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x^2 - p^2) xx underset(x -> p)(lim) x + p

Vamos resolver cada limite em separado!

Passo 3

Para

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/((x^2 - p^2))

podemos aplicar uma mudança de variáveis. Fazendo,

h = x^2 - p^2

Vamos ter h -> 0 , quando x -> p . Substituindo:

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/((x^2 - p^2)) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1

Agora vamos para o próximo limite!

Passo 4

Para underset(x -> p)(lim) x + p , basta substituir p :

underset(x -> p)(lim) x + p = p + p = 2 p

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Ficamos com,

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x^2 - p^2) xx underset(x -> p)(lim) x + p = 1 xx 2 p = 2 p

Logo,

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p) = 2 p

Resposta

underset(x -> p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p) = 2 p

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