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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 19

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 2 x)/(sin 3 x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 6x e manipula-lo para aplicar a propriedade da multiplicação de limite.

(underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 2 x)/(sin 3 x)) * (6 x)/(6 x)

(2)/(3) underset(x -> 0)(lim) ((1 - cos 2 x)/(2 x)) * ((3 x)/(sin 3 x))

(2)/(3) (underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 2 x)/(2 x)) * (underset(x -> 0)(lim) (3 x)/(sin 3 x))

Passo 2

Agora vamos substituir 2 x por u, 3x por t e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

2 x = u , 3 x = t

x -> 0 => u -> 0 , x -> 0 => t -> 0

(2)/(3) (underset(u -> 0)(lim) (1 - cos u)/(u)) * (underset(t -> 0)(lim) (t)/(sin t))

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(t) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(2)/(3) (underset(u -> 0)(lim) (1 - cos u)/(u)) * (underset(t -> 0)(lim) (t)/(sin t)) ((1)/(t))/((1)/(t))

(2)/(3) (underset(u -> 0)(lim) (1 - cos u)/(u)) * ((underset(t -> 0)(lim) 1)/(underset(t -> 0)(lim) (sin t)/(t)))

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(t -> 0)(lim) (sin t)/(t) = 1 e underset(u -> 0)(lim) (1 - cos u)/(u) = 0 .

(2)/(3) (0) * ((1)/(1))

0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 2 x)/(sin 3 x) = 0

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lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x
lim x → 0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ 3 x
lim y → 0 ⁡ 3 y sin ⁡ 5 y
lim x → 0 ⁡ sin 5 ⁡ 2 x 4 x 5
lim x → π + ⁡ sin ⁡ x x - π (Sugestão: seja t = x - π )