lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 6x e manipula-lo para aplicar a propriedade da multiplicação de limite.

lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x ∙ 6 x 6 x

2 3 lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 x 2 x ∙ 3 x sin ⁡ 3 x

2 3 lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 x 2 x ∙ lim x → 0 ⁡ 3 x sin ⁡ 3 x

Passo 2

Agora vamos substituir 2 x por u, 3x por t e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

2 x = u ,     3 x = t

x → 0 ⇒ u → 0 ,     x → 0 ⇒ t → 0  

2 3 lim u → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ u u ∙ lim t → 0 ⁡ t sin ⁡ t

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 t e aplicar a propriedade da divisão de limites.

2 3 lim u → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ u u ∙ lim t → 0 ⁡ t sin ⁡ t 1 t 1 t

2 3 lim u → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ u u ∙ lim t → 0 ⁡ 1 lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1 e lim u → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ u u = 0 .

2 3 0 ∙ 1 1

0

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x = 0

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