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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1i

Calcule.

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sen x)/(2 x - pi)

Passo 1

Para resolvermos esse limite, temos que aplicar uma mudança de variáveis:

Vamos chamar x - (pi)/(2) = h , então x = h + (pi)/(2) de modo que quando x tende a (x)/(2) , temos que h tende a zero.

Reescrevendo o limite, temos:

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sen x)/(2 x - pi) = underset(h -> 0)(lim) (1 - sen (h + (pi)/(2)))/(2 h)

Sabemos que o seno da soma é:

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a

Então:

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sen x)/(2 x - pi) = underset(h -> 0)(lim) (1 - sen (h + (pi)/(2)))/(2 h) = underset(h -> 0)(lim) (1 - (sen h cos (pi)/(2) + sen (pi)/(2) cos h))/(2 h)

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sen x)/(2 x - pi) = underset(h -> 0)(lim) (1 - (sen h (0) + cos h))/(2 h) = underset(h -> 0)(lim) (1 - cos h)/(2 h)

Passo 2

Precisamos então, resolver underset(h -> 0)(lim) (1 - cos h)/(2 h) :

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 1 + cos x , o que nos dá:

(1 - cos h)/(2 h) = ((1 - cos h) (1 + cos h))/(2 x (1 + cos h)) = (1 - cos^2 h)/(2 h (1 + cos h))

Pela relação trigonométrica, sabemos que:

sen^2 a + cos^2 a = 1

Assim:

cos^2 h - 1 = sen^2 h

Então, a nossa função pode ser reescrita como:

(1 - cos^2 h)/(2 h (1 + cos h)) = (sen^2 h)/(2 h (1 + cos h))

Multiplicando por (h)/(h) temos o limite:

underset(h -> 0)(lim) (1 - cos h)/(2 h) = underset(h -> 0)(lim) (h sen^2 h)/(2 h^2 (1 + cos h)) = (1)/(2) xx underset(h -> 0)(lim) (sen^2 h)/(h^2) xx (h)/(1 + cos h)

= (1)/(2) underset(h -> 0)(lim) ((sen h)/(h))^2 xx (h)/(1 + cos h)

Passo 3

Se o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

underset(h -> 0)(lim) (1 - cos h)/(2 h) = (1)/(2) underset(h -> 0)(lim) ((sen h)/(h))^2 xx underset(h -> 0)(lim) (h)/(1 + cos h) = (1)/(2) (underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h))^2 xx underset(h -> 0)(lim) (h)/(1 + cos h)

Resolvendo o limite, temos:

underset(h -> 0)(lim) (1 - cos h)/(2 h) = (1)/(2) (underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h))^2 xx underset(h -> 0)(lim) (h)/(1 + cos h) = (1)/(2) xx 1^2 xx (0)/(1 + 1) = 0

underset(h -> 0)(lim) (1 - cos h)/(2 h) = 0

Logo:

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sen x)/(2 x - pi) = 0

Resposta

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sen x)/(2 x - pi) = 0

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